Кое-что из жизни маятников, или Эксперимент и основы статистики
21 февраля 2015
Кое-что из жизни маятников, или Эксперимент и основы статистики
- 718
- 0
- 1
-
Автор
-
Редактор
Темы
Теория и эксперимент... Всегда ли в эксперименте можно увидеть то, что предсказывает теория? Всегда ли теория хорошо описывает то, что получается в эксперименте? Если в одном измерении получается одно, а в другом — другое, — значит ли это, что у нас кривые руки, или же что параметр действительно меняется? Давайте разбираться в этом вместе с Машей и Васей.
— А вот нет, — убежденно сказала Маша. — Я тебе точно говорю. Засеки время сам, увидишь.
— Я все-таки как-то не могу поверить, — ответил Вася нерешительно.
— Поверишь, — сказала Маша. — Попробуем еще раз. Засекай.
...А дело было так.
Тем снежным субботним утром Машин папа взял коробку пластилина и слепил из нее небольшой шарик. К шарику он приделал нитку. Другой конец нитки привязал к турнику. Взял секундомер, качнул шарик и засек время, за которое он качнется десять раз. Тридцать четыре секунды и одна десятая. Он записал эту цифру на бумажке.
Потом он качнул шарик еще раз и снова засек время десяти качаний. Тоже тридцать четыре секунды и одна десятая. Он снова записал.
— Ну вот, — сказал папа довольным голосом. — Есть какие-нибудь идеи?
— Он качается одинаково, — отозвалась Маша беззаботно.
— У шарика одинаковый период колебаний, — волнуясь ответил Вася. Он Машиного папу очень уважал. И стеснялся.
— Вооот, — ответил папа. — Период колебаний. Что это такое?
— Это... Ну... Время, за которое шарик качнется туда-сюда, — лихорадочно сформулировал Вася.
— Пра-виль-но! А он всегда будет одинаковый у этого шарика?
— Наверно! — опять беззаботно заявила Маша.
— Проверить надо, — застенчиво произнес Вася. Машин папа взглянул на него, ожидая продолжения, и Вася добавил: — Надо несколько раз вот так делать — качать шарик и время засекать.
— Золотые слова, — сказал Машин папа с уважением. Вася скромно покраснел. — Ладно! Вы тут качайте этот... математический маятник, — (Вася открыл рот, чтобы задать вопрос, но закрыл его молча; он решил сам разобраться), — а я пойду. У меня встреча через час, и, — добавил он, натягивая пальто, — когда я вернусь, вы наверняка сделаете какое-нибудь открытие.
Двадцать минут спустя Вася, обхватив руками голову, глядел на бумажку с цифрами, а Маша, беспечно свесив ноги с подоконника, жевала яблоко и играла в планшет. За окном сыпался снег.
— Лааадно, — сжалилась она наконец, — давай рассказывай, что у тебя там такое.
— Цифры не сходятся, — мрачно буркнул Вася. — Только они не сходятся как-то... подозрительно.
Маша заглянула Васе через плечо. На бумажке было нацарапано:
14,1; 14,5; 13,9; 13,7; 14,5; 13,8; 15,0; 13,7; 13,7; 14,3.
— Нууууу, — протянула Маша. — Тоже мне, проблемочка. Это же почти одинаковые цифры. Ну отличаются на чуть-чуть. Раз похоже — значит, одно и то же.
— Но они же, — в отчаянии возопил Вася, — отличаются!
— Вась, — сказала Маша взрослым тоном. — Они отличаются ПРОСТО ПОТОМУ, что ты, дитя мое, — («дитя мое» Маша произнесла басом), — тормозил, когда на кнопку секундомера нажимал. Или наоборот торопился.
И Маша деловито уселась на подоконник, закинув ногу за ногу.
— Маш, — возмутился Вася. — Да так можно про любую разницу сказать. Если б тут было у меня пятьдесят секунд, ты бы тоже сказала, что это я тормозил, когда на кнопку жал?
— Неее, — ответила Маша. — Пятьдесят секунд — это даже для тебя слишком. О! А давай проверим!
И Маша протянула Васе секундомер.
— Замеряй минуту.
И Вася стал замерять.
59,9; 59,9; 60,0; 59,8; 60,2 и даже 57,8.
Васино лицо просветлело.
— Одна секунда туда-сюда просто не считается, — сказал он с облегчением. — Потому что я на секунду могу ошибиться, когда на кнопку жму. Измерение просто не может быть совсем-совсем точным. Ну все! Значит, шарик всегда качается одинаково.
— Ну уж нет! — неожиданно возмутилась Маша. — Если ты одинаково качаешь одинаковый шарик, то конечно он будет качаться ОДИНАКОВО. Давай попробуем что-нибудь изменить и тогда уже посмотреть.
— Ну а что?
— Ну а давай его будем качать далеко и близко.
— Давай!
В этот раз Маша запускала секундомер, а Вася отводил шарик и говорил Маше, когда он качнется десять раз. Дело шло быстрее и интереснее, и совсем скоро у ребят была нарисована табличка:
Расстояние, на которое отвели шарик (амплитуда) | 10 | 30 | 24 | 58 | 17 | 22 | 45 | 70 | 15 |
Период колебаний | 13,9 | 14,0 | 14,5 | 14,1 | 14,7 | 14,0 | 14,0 | 14,1 | 13,9 |
— Так, — сказал Вася с облегчением. — Шарик по-любому будет качаться с одним и тем же периодом. Убедилась? Всё.
— Что всё? Изменить, что ли, больше ничего нельзя?
— А что ты тут изменишь? Ну? Вот что?
Маша замялась, и Вася уже собирался торжественно убирать секундомер и отвязывать шарик, когда она ответила:
— Я сделаю большой шарик.
Вася секунду помолчал.
— Ну, — хмыкнул он наконец, — пробуй. Получится то же самое.
Маша достала пластилин из коробки, под Васиным скептическим взглядом скатала из него огромный ком, прилепила к шарику, оттянула его подальше и вложила в Васину руку.
— Запускай! — сказал Вася, и Маша запустила секундомер.
Чем больше они измеряли, тем шире улыбался Вася и тем сильнее вытягивалась от огорчения Машина физиономия. Табличка выглядела так:
Размер шарика | Огромный | Большой | Средний | Маленький | Крохотный |
Период колебаний | 14,1 | 14,1 | 13,9 | 14,0 | Вообще не качается |
Маша, не глядя Васе в глаза, мрачно обводила карандашом надпись «Вообще не качается».
— Маш, — сочувственно сказал Вася. — Он не качается не потому, что у него период колебаний другой, а потому, что такой маленький шарик — это уже не шарик вообще, а просто нитка, испачканная в пластилине. А нитка не качается, потому что легкая она.
— Ну и ладно, — ответила Маша и надулась.
Теперь Маша угрюмо сидела, глядя в бумажку, а Вася свесив ноги с подоконника, жевал яблоко, играл в планшет и изредка взглядывал на Машу. Он огорчался, что она грустит, но все-таки радовался, что выиграл в споре. За окном так и сыпался снег.
И вдруг Маша прямо подпрыгнула.
— Вааась! — воскликнула она. — Нитка!
— Что?
— Нитка! У маятника может меняться не только шарик, но и нитка! Давай попробуем!
И Маша отвязала нитку от турника, привязала заново (так, что маятник стал покороче) и всунула шарик Васе в руку, а сама схватила секундомер.
— Засекай! — сказал Вася.
Маша засекла, Вася качнул шарик, и...
—...А вот нет, — убежденно сказала Маша. — Я тебе точно говорю. Держи вот секундомер, увидишь.
— Я все-таки как-то не могу поверить, — ответил Вася неуверенно.
— Поверишь, — сказала Маша. — Попробуем еще раз. Засекай.
А табличка выглядела так:
Длина нити | 150 см | 135 см | 178 см | 99 см | 30 см | 71 см | 19 см | 46 см | 8 см |
Период колебаний | 25,7 | 22,4 | 27,6 | 20 | 11,2 | 17,2 | 8,1 | 13,7 | 5,9 |
— Может, мы мерили неаккуратно? — спросил Вася.
— Дорогой мой мальчик, — сказала Маша нежно. — Разница в одну, ну две, секунды — это конечно случайность. Но у нас тут по десять секунд туда-сюда. Это не могло получиться просто так, это что-то значит! Это ВАЖНО, понимаешь, Вась? Период колебаний ЗАВИСИТ от длины нити маятника.
— Дорогая моя девочка, — отозвался Вася еще нежнее. — Допустим, ты права. Но тогда у нас осталась еще одна кро-о-о-охотная проблемка. Мы не знаем, КАК период колебаний зависит от длины нити. А без этого ничто не имеет смысла.
И он взял яблоко и закинул ноги на спинку дивана. Маша посмотрела в табличку.
— А чего тут непонятного? — спросила она. — Чем длиннее нить, тем больше период. Что тебе еще нужно?
— Ну а вдруг не так? Вдруг там есть какой-то секрет, которого мы не знаем? Давай график строить.
И тут Маша скисла. Она, конечно, любила строить графики. Но у Васи они получались лучше и аккуратнее, чем у нее. И поэтому она любила строить графики, когда этого не видел Вася.
— Ну дава-ай, — вяло протянула она.
Вася схватил два листочка в клеточку, один кинул Маше, а на другом быстро нарисовал оси, нанес на них деления и стал отмечать получившиеся точки. Маша делала то же, но куда медленнее — она понимала, что за Васей ей не угнаться.
А Вася, отметив точки, сел, обхватил руками голову и крепко задумался. Он сидел так все то время, что Маша расчерчивала оси и ставила точки, и когда она все сделала, он тоже не сдвинулся с места. Тогда, взглядывая изредка на Васю, Маша начала проводить кривую линию, захватывающую все отмеченные точки. Вася некоторое время сидел безучастно, а потом скосил глаза в Машин листок, крикнул «Чепуха!», скомкал его и бросил в угол.
И тут Маша обиделась. Не то чтобы она сама такого никогда не отчебучивала. Но она по крайней мере объясняла, с какого перепугу все это устроила. Или по крайней мере ей казалось, что объясняла.
Оскорбленно схватив из вазы последнее яблоко, она пошла к двери, чтобы открыть ее и навсегда выгнать в нее Васю.
— Ма-а-аш, — протянул Вася примиряюще. — Ну прости, ну я не хотел тебя обидеть. Просто ты сделала глупость. Когда я делаю глупости, ты ведь так же себя ведешь.
— Мог бы и объяснить, в чем дело, — процедила Маша, глядя в сторону. — Безо всех вот этих «Чепухаааа!».
— Ну просто, Машка, — начал Вася деловито, — ты берешь да и фигачишь линию графика через все отмеченные точки, как будто ты не человек с мозгами, а машина без мозгов. С чего ты взяла, что тут будут такие вот холмы и долины? — (с этими словами Вася достал из угла скомканный листочек, расправил его и провел пальцем по кривой-прекривой линии, которую провела через все точки Маша).
— Что же в этом неправильного? — ядовито поинтересовалась Маша.
— А то! — запальчиво ответил Вася. — Мы же с тобой уже вроде поняли, что точки эти — неточные! Сама же ты вроде мне это доказала! Каждая точка может болтаться туда-сюда по временнόй оси, на секунду как минимум. И к тому же — ну, честно! — длину нити мы тоже совсем точно измерить не можем, потому что нам сам маятник мешает, линейка об него тыкается. Значит, точки ходят туда-сюда по обеим осям. Это тебе не урок математики, где все точки ложатся в красивый ряд. Это физика, детка!
Маша вгляделась в свой измятый график.
— Ммм, ты имеешь в виду... То есть вот эта точка у нас просто куда-то уплыла, потому что у нас руки кривые, а вот эта вот... Хм. То есть ты хочешь сказать, что график не обязательно проходит сквозь все-все нанесенные точки... Тогда я, кажется, знаю!
Она схватила линейку и провела прямую линию через несколько подходящих точек. С двух сторон от этой линии стояли точки, которые в нее не вписались.
— Вот и все! — подытожила Маша удовлетворенно. — Ровненькая, красивенькая...
— Чепуха! — крикнул Вася, вырвал листок у Маши из рук и снова зашвырнул его в угол. Маша возмущенно схватила надкушенное яблоко и снова кинулась к двери — выгонять.
— Мааааш, — снова протянул примиряюще Вася после короткой паузы. — Ты не обижайся. Просто ты опять невнимательная. Посмотри — у тебя с одной стороны графика вон как много точек осталось, а с этой — вон как мало.
— Ну и что? Это ошибки просто, и все. Мы же договаривались, вроде, что точки плавают туда-сюда. Они плыли, плыли... И уплыли.
— Ага! Все в одну сторону. Нет, Маш. Тут дело нечисто. Наш график — это не прямая, это кривая, зуб тебе даю. Вот я и думаю, как ее провести.
Оба замолчали, только Маша хрустела яблоком.
— Знаешь, Вась! — сказала она наконец. — Сейчас мы возьмем да и наберем себе еще точек. Держи секундомер.
И еще полчаса они качали шарик, засекали время, наносили точки на график, меняли длину нитки и снова качали, засекали, записывали...
— Ладно, — сказала наконец Маша мирным голосом. — В общем, ты был прав. Действительно график гнется. Вот так мы кривую проведем — кажется, она будет правильной.
— А как проверить-то? — устало спросил Вася. — Как мы это поймем?
— Как-как. График правильный, если он умеет предсказывать. Ты берешь на этом графике точку и говоришь — у маятника вот с такой длиной нити будет вот такой период колебаний. И вот проверяешь и — бац! — он именно такой. Вот это и называется предсказание.
Вася взглянул на график. Он был весь усыпан точками, усеян точками, на нем буквально не было живого места без точек. Только далеко-далеко на этом графике, там, где нить маятника должна была быть уже очень длинной, появлялось свободное от точек место.
Маша с Васей переглянулись и оба ткнули карандашом в далекую точку с длиной нити два метра.
***
Когда Машин папа вернулся домой, детей там не было. На турнике висел пластилиновый шарик на длиннющей двухметровой нити. А на противоположной турнику стене был приклеен график — очень аккуратный график. Одна точка на этом графике — там, где длина нити должна была составлять два метра — была отмечена красным. Возле этой точки с одной стороны стоял знак вопроса, а с другой — восклицательный знак. Точка лежала на графике идеально.
А под графиком была записка: «Вот ответ, а мы на горке».
Машин папа почесал в затылке, улыбнулся и пошел пить чай.
Статья была опубликована в журнале «Квантик» (2014), № 10, с.